Kącik Matematyczny #4
Przelewanie - jamartin

Zadania o przelewaniu są bardzo popularne. Kto oglądał film "Szklana pułapka 3" mógł się przekonać o korzyściach, płynących z umiejętności rozwiązywania tego typu zadań. W większości przypadków rozwiązujący posługuje się metodą prób i błędów - uda się lub nie. Ja natomiast postaram się w jasny sposób prrzedstawić metodę "ruchu kuli bilardowej" jako racjonalny sposób rozwiązywania tego typu problemów.

Zadanie z filmu "Szklana pułapka 3"
Ośmiolitrowe naczynie wypełnione jest wodą. Przy pomocy dwóch pustych naczyń o pojemnościach 3 l i 5 l odmierz dokładnie 4 l wody.

Rozwiązanie (metodą "ruchu kuli bilardowej"):
Na płaszczyźnie narysujmy równoległobok ABCD o kącie ostrym 60 stopni oraz bokach długości 3 jednostek i 5 jednostek. Boki AD i BC równoległoboku podzielmy na trzy równe części, zaś boki AB i CD na pięć równych części i połączmy punkty tak jak na rysunku. Punktowi A przypisujemy stan, gdy oba naczynia o pojemnościach 3 l i 5 l są puste. Przesunięciu po boku AB w kierunku od A do B odpowiada proces napełniania naczynia 5-litrowego, zaś w kierunku odwrotnym od punktu B do punktu A opróżnianiu naczynia 5-litrowego. Podobnie ma się rzecz w przypadku przesuwania punktu po odcinkach równoległych do AB. To samo odnosi się do odcinka AD oraz odcinków do niego równoległych i naczynia o pojemności 3 l. Wędrówka po odcinkach innych niż równoległych do AB i AD związana jest z opróżnianiem lub uzupełnianiem odpowiedniego naczynia. Wędrówka po tych liniach odbywa się zgodnie z regułą ruchu kuli bilardowej: "kąt padania równy jest kątowi odbicia".

Puśćmy "kulę bilardową" po boku AB (od punktu A w kierunku punktu B). Szukana droga ABEFGHI od punktu A do punktu I zaznaczona jest na rysunku kolorem czerwonym.

Ta droga odpowiada następującym przelewaniom:
(0,0) A-->B (5,0) B-->E (2,3) E-->F (2,0) F-->G (0,2) G-->H (5,2) H-->I (4,3).

Pierwsza współrzędna w tej parze oznacza stan naczynia 5-litrowego, druga zaś odpowiada za stan naczynia 3-litrowego. Oczywiście z punktu A moglibyśmy pójść najpierw wzdłuż boku AD i uzyskujemy w ten sposób drugie rozwiązanie: ADEFGHIJK.

Po rozszyfrowaniu tej drogi otrzymamy odpowiedni sposób przelewania:
(0,0) A-->D (0,3) D-->E (3,0) E-->F (3,3) F-->G (5,1) G-->H (0,1) H-->I (1,0) I-->J (1,3) J-->K (4,3).


Zadanie 2. W naczyniu znajduje się 8 litrów wody. Przy pomocy naczyń o pojemności 7 litrów i 5 litrów odmierz dokładnie 6 litrów.

Rozwiązanie. W tym przypadku mamy dostępne tylko 8 litrów płynu, a z tego wynika, że nigdy nie osiągniemy stanów (7,2), (7,3), (6,3), itd. czyli punktów znajdujących się powyżej pogrubionej czarnej linii.

Zauważmy, że punkt I ma współrzędne (6,0). Droga prowadząca do tego punktu to czerwona linia biegnąca kolejno przez punkty: ABEFGHI.

Współrzędne odpowiednich punktów opisują sposób przelewania

(0,0) A-->B (7,0) B-->E (2,5) E-->F (2,0) F-->G (0,2) G-->H (6,2) H-->I (6,0).


A na koniec jeszcze jedno proste zadanko (tutaj już nie będzie trzeba nic rysować):
Zadanie 3. Czy można przy pomocy naczyń o pojemności 9 l i 15 l odmierzyć dokładnie 8 litrów wody, czerpiąc ją z rzeki?

Rozwiązanie. Zauważmy, że pojemności obu naczyń wyrażają się liczbami podzielnymi przez 3. Posługując się nimi można odmierzyć wyłącznie taką ilość wody, która także wyraża się liczbą podzielną przez 3. Nie można więc odmierzyć 8 litrów wody, gdyż liczba 8 nie jest podzielna przez 3.


Tekst przepisałem (z kosmetycznymi poprawkami oraz poprawieniem jednej (dość ważnej) literówki) z książki "Miniatury MATEMATYCZNE 5" (którą zdobyłem w Kangurze w 2001 roku :P). Rysunki robiłem w paincie (czy jak to się odmienia), bo nie mam skanera.

PS Wiem, że zaraz ktoś sobie powie, iż przepisać to każdy potrafi. Otóż ktosiu po pierwsze: od czegoś trzeba zacząć , lepsze to niż nic; po drugie: trochę czasu przy tym spędziłem, sam spróbój sobie zrobić w paincie takie równoległoboki złożone z trójkątów równobocznych, a następnie (uważnie) przepisać tą dość sporą ilość tekstu (piwo za taki coś się należy ;)); po trzecie: jeśli twierdzisz, że taki z Ciebie geniusz, to sprawdź kogo ksywka widnieje na liście "Wielkich geniuszy" w 3 numerze KM :P
To tyle :)
matam@pf.pl