Zbieg okoliczności - wyniki
Kilka księżyców temu popełniłem tekst, a w nim stwierdziłem, że wystarczy grupa 23 (słownie: dwudziestu trzech) osób, by było bardziej prawdopodobne, niż nie, że wśród nich będzie przynajmniej jedna para osób o zgodnych dniach urodzin (bez uwzględnienia roku). Prosiłem czytelników o sprawdzenie tego doświadczalnie na grupach ludzi o liczebności co najmniej 23 osoby. Otrzymałem dziewięć maili i przyjmuję, że gdyby ktoś chciał napisać, już by to zrobił. Podziękowania dla: Michaela, Faramira, Bosego, Lucasa, B.Tinca, Poison_Girl, Kikuta, B.Grelewicza, Pirixa. Większość z tych maili zawierała potrzebne mi informacje, które uzupełnione o moje obserwacje dają: Dziesięć badanych grup - zbieżność w siedmiu z nich. Nie znam liczebności jednej z grup; pozostałe liczyły od 22 do 35 osób. Niestety na podstawie dziesięciu grup trudno prowadzić wiarygodną statystykę. Mogło się też zdarzyć, że osoby, które stwierdziły zbieżność dat urodzin w swoim otoczeniu, chętniej mi się tym chwaliły i wtedy dane są zakłamane. Nie będę ich dalej analizował. Dla wszystkich ciekawych podaję teraz sposób dojścia do wniosków, jakie przedstawiłem kilka miesięcy temu. Przede wszystkim zakładam, że masz Czytelniku choćby mgliste pojęcie o prawdopodobieństwie. Przypominam, że prawdopodobieństwo określa liczba z przedziału [0;1], prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego to 0, a zdarzenia pewnego to 1; jeśli np. prawdopodobieństwo wygranej wynosi 0.2 (= 20%), to wygramy średnio w dwu próbach na dziesięć; przegrana jest wtedy prawdopodobna w 80% (= 0.8 = 1-0.2). Dodatkowo zakładam, że rok ma 366 dni, oraz że w każdym z nich rodzi się średnio tyle samo dzieci. Nieuwzględnienie schematu lat przestępnych znacznie upraszcza problem, a nie zmienia znacząco ostatecznego wyniku. Zakładam też, że badana grupa jest naprawdę przypadkowa. Jeśli badanie przeprowadzają bliźniacy i do każdej grupy wliczają też siebie, to nie jest to grupa dobrana przypadkowo względem dat urodzin. Chcemy znaleźć formułę określającą prawdopodobieństwo zajścia zbieżności dat urodzin (nie dat urodzenia, ale dat obchodzenia corocznych urodzin, czyli zbieżność dotyczy tylko miesiąca i dnia) w grupie o określonej liczebności. W tym celu wyobraźmy sobie pokój (właściwie to musi być spora sala) z 366 krzesłami, z których każde jest oznaczone datą (miesiąc i dzień). Każdy z 366 dni występuje dokładnie raz. Gdy do pokoju wejdą osoby z zadaniem zajęcia krzesła z datą własnych urodzin, to zbieżność dat poznamy po tym, iż ktoś zastanie zajęte już krzesło. Pierwszy łatwy do zauważenia fakt jest taki, że mogą istnieć grupy nawet 366 osób takich, iż każda z nich znajdzie wolne krzesło. Natomiast nie jest możliwe posadzić tam 367 lub więcej ludzi. Zatem pewność zbieżności dat urodzin zachodzi dla grup 367 i więcej osób. Rozumowanie takie w matematyce nazywa się zasadą szufladkową Dirichleta. Głosi ona, że mając zbiór n*k+m obiektów (m,n,k naturalne; k>0; m>0) i wkładając je do k szufladek, w którejś szufladce otrzymamy co najmniej n+1 elementów. Istotnie, gdybyśmy w każdej szufladce rozmieścili co najwyżej n elementów, to w k szufladkach znalazłoby się ich najwyżej n*k. Ponieważ elementów mamy więcej, zatem w pewnej szufladce musi być ich co najmniej n+1. U nas rolę szufladek pełnią krzesła i jest ich k=366, a do rozmieszczenia mamy więcej niż 1*366 ludzi. Obliczenie konkretnego prawdopodobieństwa wykonamy również wykorzystując nasz pokój. Łatwiej będzie nam wyliczać szansę, że zbieżność dat nie zachodzi (każdy zastał swoje krzesło wolne). Prawdopodobieństwo zajścia zbieżnośći wyliczymy na końcu odejmując nasz wynik od jedynki. Wpuszczajmy osoby pojedynczo. Pierwsza z nich znajdzie miejsce na pewno. Szanse drugiej na obsadzenie krzesła to: (ilość wolnych krzeseł)/(ilość wszystkich krzeseł)=365/366 Prawdopodobieństwo, że zbieżność nie zajdzie dla jednej osoby oraz dla dwu osób: N(1)=1 N(2)=365/366 Trzy osoby nie wykażą zbieżności dat gdy trzecia osoba znajdzie wolne krzesło (z prawdopodobieństwem analogicznie 364/366), ale także pod warunkiem, że znalazła sobie miejsce osoba poprzednia (tj. druga). Jest to tak zwane prawdopodobieństwo warunkowe i żeby wyliczyć N(3) należy czynnik 364/366 przemnożyć przez N(2). Przykład: w każdy słoneczny dzień lata Jaś ma 70% szans, że wybierze się nad jezioro (w dzień pochmurny nie wybiera się wcale). Szansa, że dany dzień będzie słoneczny wynosi 90%. Prawdopodobieństwo wyjazdu nad jezioro w letni dzień jest 70%*90%=0.7*0.9=0.63=63%. Prawdopodobieństwo, że jaś nie wyjedzie pomimo słonecznego dnia to 30%*90%=27%. Szansa na zostanie w domu z powodu chmur to oczywiście 10%. Zbieżność dla czterech osób nie zajdzie, gdy nie zaszła dla osób poprzednich (trzech) oraz gdy dodatkowo osoba czwarta zastanie swoje krzesło wolne. N(4)=(363/365)*N(3) Widać schemat: N(1)=1=366/366 N(n)=N(n-1)*(367-n)/366 Zauważmy, że dla n=367 pojawia się czynnik (357-n)=367-367=0. N(367) i dalsze będą zatem równe 0, co zgadza się z naszymi wcześniejszymi wnioskami (pamiętajmy: liczyliśmy prawdopodobieństwo braku zbieżności). Oczywiście szansa zaistnienia zbieżności dat urodzin w grupie n osób to:P(n)=1-N(n). Z obliczeń P(n)>50% dla n>=23 Tak przedstawia się moje rozumowanie (zamieszczone niegdyś chyba w Świecie Nauki). Możecie sprawdzić, czy praktyka zgadza się z teorią.
Kontakt z Au-torem